论强密度定理中收敛的速度

对于紧集 $K\subset \mathbb{R}^m$，我们在该集合的简单参数下给出两个指标（这些参数可追溯到 50 年代末的 Besicovitch 与 Taylor）。在本文中我们证明，除每个指标的一个极端值外，关于 Saks 强密度定理中比值趋于 1 的速度有如下初等估计 $$\frac{|R\cap K|}{|R|}>1-o\bigg(\frac{1}{|\log d(R)|}\bigg) \qquad \text{for a.e.} \ \ x\in K \ \ \text{and for} \ \ d(R)\to 0$$（ provided $x\in R$，其中 $R$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的区间，$d$ 表示直径且 $|\cdot|$ 为勒贝格测度）。本工作是 [3] 的自然延续，并对 Ulam 的问题 146 [5, p. 245]（另见 [8, p.78]）以及 Erdős 的苏格兰书“问题”[5, 第四章, pp. 27-33] 有所贡献，因为已知无法对密度趋于 1 的速度作出一般性陈述。