$\mathbb{R}^d$中具有慢衰减密度且避开无界距离集合的集合

对于任意$d\in \mathbb{N}$以及任意满足$f(R)\to 0$（当$R\to \infty$）的函数$f:(0,\infty)\to [0,1]$，我们构造一个集合$A \subseteq \mathbb{R}^d$以及一个序列$R_n \to \infty$，使得对所有$x,y\in A$有$\|x-y\| \neq R_n$，且对所有$n\in \mathbb{N}$有$\mu(A\cap B_{R_n})\geq f(R_n)\mu(B_{R_n})$，其中$B_R$是以原点为中心、半径为$R$的球，$\mu$为Lebesgue测度。该构造展示了由Furstenberg-Katznelson-Weiss、Bourgain以及Falconer-Marstrand各自独立建立的结果的一种尖锐性，并且它推广到由$\mathbb{R}^d$上范数诱导的任意度量。