一类由非负可积分布生成的范数

我们证明，$\mathbb{R}^d$ 上任意具有非负、非零且可积边缘分布的分布函数均可由一个称为 $F$-范数的 $\mathbb{R}^{d+1}$ 上的范数刻画。我们刻画了 $F$-范数的集合，并证明一列 $F$-范数逐点收敛到某个 $F$-范数等价于相应分布函数在Wasserstein度量下收敛。在统计方面，$F$-范数可容易地由经验 $F$-范数估计，我们建立了其一致性与弱收敛性。$F$-范数的概念可推广到任意随机向量，只需满足例如正态分布所满足的适当可积性条件。$F$-范数的集合被赋予一种半群运算，在此背景下它对应于底层分布的普通卷积。诸如中心极限定理之类的极限结果便可表述为 $F$-范数乘积的逐点收敛。最后我们展示如何利用 $F$-范数的几何，将 $\mathbb{R}^d$ 中的非负可积分布用 $\mathbb{R}^{d+1}$ 中的简单紧集刻画。然后我们将这些分布在Wasserstein度量下的收敛性与这些特征集关于Hausdorff距离的收敛性联系起来。