关于凸性的 Beer 指数及其变体

设 $S$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中具有有限正 Lebesgue 测度的子集。$S$ 的凸性 Beer 指数 $\operatorname{b}(S)$ 是指从 $S$ 中均匀独立随机选取的两点在 $S$ 中互可见的概率。$S$ 的凸性比 $\operatorname{c}(S)$ 是指 $S$ 的最大凸子集的 Lebesgue 测度除以 $S$ 的 Lebesgue 测度。我们研究了这两种自然凸性度量之间的关系。我们证明，只要 $\operatorname{b}(S)$ 有定义，对于任何具有单连通分支的集合 $S\subseteq\mathbb{R}^2$，均满足 $\operatorname{b}(S)\leq\alpha\operatorname{c}(S)$，其中 $\alpha$ 为绝对常数。这意味着 Cabello 等人关于该估计对简单多边形成立的猜想得到了肯定回答。我们还考虑了 $\operatorname{b}(S)$ 的高阶推广。对于 $1\leq k\leq d$，集合 $S\subseteq\mathbb{R}^d$ 的 $k$-凸性指数 $\operatorname{b}_k(S)$ 是指从 $S$ 中均匀独立随机选取的 $(k+1)$-元组的凸包包含在 $S$ 中的概率。我们证明，对于每个 $d\geq 2$，存在常数 $\beta(d)>0$，使得只要 $\operatorname{b}_d(S)$ 存在，每个集合 $S\subseteq\mathbb{R}^d$ 均满足 $\operatorname{b}_d(S)\leq\beta\operatorname{c}(S)$。通过证明存在常数 $\gamma(d)>0$，使得对于每个 $\varepsilon\in(0,1)$，都存在一个 Lebesgue 测度为 $1$ 的集合 $S\subseteq\mathbb{R}^d$ 满足 $\operatorname{c}(S)\leq\varepsilon$ 且 $\operatorname{b}_d(S)\geq\gamma\frac{\varepsilon}{\log_2{1/\varepsilon}}\geq\gamma\frac{\operatorname{c}(S)}{\log_2{1/\operatorname{c}(S)}}$，我们提供了一个几乎匹配的下界。