多边形的凸度与期望距离

我们提出了一种在 $O(n^2)$ 时间内计算多边形 $P$ 的所谓 Beer 指数的算法，其中 $n$ 为角点数。多边形 $P$ 可以有洞。Beer 指数是指在 $P$ 中独立且均匀随机选取的两点能够互相看见的概率。给定一个简单多边形 $P$ 中由 $m$ 个点组成的有限点集 $M$，我们还展示了如何在 $O(n\log n+m^{4/3}\log^\alpha m\log n)$ 时间内计算出 $M$ 中互相可见的点对数量，其中 $\alpha<1.78$ 为常数。我们同样研究了计算简单多边形 $P$ 中独立且均匀随机选取的两点之间期望测地距离的问题。我们展示了如何通过概念上非常简单的算法在最优 $O(n)$ 时间内计算期望 $L_1$ 距离。随后我们描述了一种在 $O(n^2)$ 时间内输出期望 $L_2$ 距离闭式表达式的算法。