针对隐式乘积分布混合的 Voronoi 图自改进构造

我们提出了一种自改进算法，用于在给定具有常数描述复杂度的凸距离函数下计算 Voronoi 图。输入 $n$ 个点从隐式乘积分布混合中抽取；我们仅给定混合中分布数目的上界 $m = o(\sqrt{n})$，以及如下性质：对每个分布，一个输入实例从该分布中抽取的概率为 $\Omega(1/n)$。对于任意 $\varepsilon \in (0,1)$，在训练阶段花费 $O\bigl(mn\log^{O(1)} (mn) + m^{\varepsilon} n^{1+\varepsilon}\log(mn)\bigr)$ 时间后，我们的算法以至少 $1 - O(1/n)$ 的概率达到 $O\bigl(\frac{1}{\varepsilon}n\log m + \frac{1}{\varepsilon}n2^{O(\log^* n)} + \frac{1}{\varepsilon}H\bigr)$ 的期望运行时间，其中 $H$ 为输出的 Voronoi 图分布的熵。期望取自输入分布与算法的随机决策。对于欧几里得度量，期望运行时间改进为 $O\bigl(\frac{1}{\varepsilon}n\log m + \frac{1}{\varepsilon}H\bigr)$。