平面图上的维诺图及确定性 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 时间直径计算

我们提出了平面图上加性加权维诺图的一种显式高效构造。设$G$为具有$n$个顶点和$b$个位于常数个面内的站点的平面图。我们展示了如何在$\tilde O(nb^2)$时间内预处理$G$（脚注：$\tilde O$符号隐藏多对数因子），以便能在$\tilde O(b)$时间内计算这些站点的任意加性加权维诺图。我们利用该构造在$\tilde{O}(n^{5/3})$时间内计算具有实弧长的最远？有向平面图的直径。这改进了Cabello (SODA'17) 最近的突破性结果，既改善了运行时间（从$\tilde{O}(n^{11/6})$），又提供了确定性算法。事实上，这是该问题的第一个真正次二次的确定性算法。我们对维诺图用于计算直径的使用遵循Cabello，但他使用了抽象维诺图，这使得他的直径算法更复杂、更昂贵且随机化。如Cabello的工作，我们的算法能为每个顶点$v$计算离$v$最远的顶点（即$v$的离心率）以及从$v$到所有其他顶点的距离之和。因此，我们的算法也能在相同时间界限内计算平面图的半径、中位数和维纳指数（所有两两距离之和）。我们为平面图构造维诺图具有独立意义。