Voronoi 图还能为平面图直径做些什么？

Voronoi 图技术由 Cabello 引入，用于以次二次时间计算平面图的直径。我们在静态、容错和部分动态的无向无权平面图中展示了该技术的新应用，以及一些新的局限性。1. 在静态情形下，我们给出 $n^{3+o(1)}/D^2$ 和 $\tilde{O}(n\cdot D^2)$ 时间算法来计算直径为 $D$ 的平面图 $G$ 的直径。当 $D<n^{1/3}$ 或 $D>n^{2/3}$ 时，这些比当前最优的 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 更快。2. 在容错设置中，我们给出 $n^{7/3+o(1)}$ 时间算法来计算 $G\setminus \{e\}$ 的直径（对每个边 $e\in G$ 的替换直径问题）。相比对每条边运行静态算法的朴素 $\tilde{O}(n^{8/3})$ 时间算法有所改进。3. 在增量设置中，我们希望在添加边时维护直径，我们提出总运行时间 $n^{7/3+o(1)}$ 的算法。相比在每次更新后运行静态算法的朴素 $\tilde{O}(n^{8/3})$ 时间算法有所改进。4. 我们给出一个（基于 SETH 条件的）下界，排除了在*加权*平面图中维护直径的摊还 $O(n^{1-\varepsilon})$ 更新时间。该下界即使对增量或减量更新也成立。我们的上界通过对 Voronoi 图的新颖使用与操作获得。这些包括当图的边被删除时维护 Voronoi 图、允许 Voronoi 图的站点位于 BFS 树层上（而非 $r$-划分的边界上），以及一种从增量直径到增量距离预言机的新归约，其意义可能超越平面图。我们的下界是首个基于 SETH 条件的动态平面图问题下界。