平面上高阶 Voronoi 图的最优算法：非确定性的用处

我们提出首个用于构建 $n$ 个点的二维 $k$ 阶 Voronoi 图的最优随机算法。期望运行时间为 $O(n\log n + nk)$，相较 Ramos (SoCG'99) 二十年前的结果改进了 $2^{O(\log^*k)}$ 倍。为获得该结果，我们 (i) 结合 Ramos 的剖分构造使用 Chan 与 Zheng (SODA'22) 近期的决策树技术，将问题归约为验证 $k$ 阶 Voronoi 图，并 (ii) 通过一种新的使用平面图形分隔符的分治算法解决验证问题。我们还描述了在 $O(n\log n + nk^{1/3})$ 时间内构建二维 $n$ 条直线的 $k$-层，以及在 $O(n\log n + nk^{3/2})$ 时间内构建三维 $n$ 个平面的 $k$-层的确定性算法。这些时间界（忽略 $n\log n$ 项）与 $k$-层组合复杂度的当前最佳上界匹配。此前，二维中相同时间界由 Chan (1999) 以随机化方式获得。