关于凸多面体上 Lebesgue 常数增长的估计

本文得到了凸多面体 $W\subset\mathbb{R}^d$ 的 Lebesgue 常数 $$\mathcal{L}(W)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{T}^d}\bigg|\sum_{{k}\in W\cap \mathbb{Z}^d} e^{i({k},\,{x})}\bigg| {\rm d}{ x}$$ 的新估计。主要结果表明：若 $W$ 是一个凸多面体，满足 $[0,m_1]\times\dots\times [0,m_d]\subset W\subset [0,n_1]\times\dots\times [0,n_d]$，则 $$c(d)\prod_{j=1}^d \log(m_j+1)\le \mathcal{L}(W)\le C(d)s\prod_{j=1}^d \log(n_j+1),$$ 其中 $s$ 是 $W$ 的三角剖分的大小。