若干 Mizohata--Takeuchi 型尖锐不等式

设 $\Sigma$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中 $C^2$ 超曲面的严格凸紧片，具有非零高斯曲率，以及由 $\mathbb{R}^n$ 中 Lebesgue 测度诱导的曲面测度 $d\sigma$。Mizohata--Takeuchi 猜想断言，对所有 $g\in L^2(\Sigma)$ 以及所有权函数 $w:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,+\infty)$，有 \begin{equation*} \int |\widehat{gd\sigma}|^2w \leq C \|Xw\|_\infty \int |g|^2 \end{equation*} 其中 $X$ 表示 $X$ 射线变换。作为朝向该猜想的部分进展，我们作为近期建立的去耦合不等式的直接推论证明：对每个 $\epsilon>0$，存在仅依赖于 $\Sigma$ 与 $\epsilon$ 的正常数 $C_\epsilon$，使得对所有 $R \geq 1$ 及所有权函数 $w:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,+\infty)$ 有 \begin{equation*} \int_{B_R} |\widehat{gd\sigma}|^2w \leq C_\epsilon R^\epsilon \sup_T \left(\int _T w^{\frac{n+1}{2}}\right)^{\frac{2}{n+1}}\int |g|^2, \end{equation*} 其中 $T$ 取遍 $\mathbb{R}^n$ 中所有维数为 $R^{1/2} \times \dots \times R^{1/2} \times R$ 的管子族。由此我们推出带 $R^{\frac{n-1}{n+1}}$ 损失的 Mizohata--Takeuchi 猜想；即对任意半径为 $R$ 的球 $B_R$ 及任意 $\epsilon>0$，有 \begin{equation*} \int_{B_R} |\widehat{gd\sigma}|^2w \leq C_\epsilon R^{\frac{n-1}{n+1}+ \epsilon}\|Xw\|_\infty\int |g|^2 \end{equation*} 此处的幂 $(n-1)/(n+1)$ 除非利用 $\widehat{gd\sigma}$ 超出“去耦合公理”的性质，否则不能被更小的量替代。我们还给出了在权函数各种条件下改进该不等式的估计，并讨论了一些猜想成立的新情形。