分数齐次性的平方函数与 Wolff 势

本文证明了对于$\mathbb{R}^d$中的任意测度$\mu$和非整数$0<s<d$，Wolff 能量$\displaystyle{\iint_0^\infty(\frac{\mu(B(x,r))}{r^s})^2\,\frac{dr}{r}d\mu(x)}$与$$\iint_0^\infty(\frac{\mu(B(x,r))}{r^s} - \frac{\mu(B(x,2r))}{(2r)^s})^2\,\frac{dr}{r}d\mu(x)$$是可比的，这与$s$为整数的情形不同。我们还研究了其与$s$-Riesz 变换（$0<s<1$）的$L^2-$范数的关系，并在整数情形下提供了一个反例。