通过 Wiener 空间上的熵变分计算 Laplace 变换及其若干应用

设 $(W,H,\mu)$ 为经典 Wiener 空间，其中 $H$ 是 Cameron-Martin 空间，由 $L^2([0,1],\,dt)\otimes \R^d$ 元素的原函数组成；我们用 $L^2_a(\mu,H)$ 表示关于 $dt\times d\mu$ 的等价类，其 Lebesgue 密度 $s\to\dot{u}(s,w)$ 几乎必然适应于标准 Brown filtration。若 $f$ 是一个 Wiener 泛函，使得 $\frac{1}{E[e^{-f}]}e^{-f}d\mu$ 相对于 $\mu$ 具有有限的相对熵，我们证明 \beaa J_\star&=& \inf\left(E_\mu\left[f\circ U+\half |u|_H^2\right]: u\in L_a^2(\mu,H)\right)\ &\geq&-\log E_\mu[e^{-f}]=\inf\left(\int_W fd\ga+H(\ga|\mu):\,\nu\in P(W)\right) \eeaa 其中 $P(W)$ 是 $(W,\calB(W))$ 上的概率测度集，$H(\ga|\mu)$ 是 $\ga$ 相对于 $\mu$ 的相对熵。如果上述不等式可以替换为等式，我们称 $f$ 为受控泛函 (tamed functional)；我们刻画了受控泛函类，该类远大于本质有界 Wiener 泛函的集合。我们表明，对于受控泛函，左侧的极小化问题存在解 $u_0$ 当且仅当 $U_0=I_W+u_0$ 几乎必然可逆，且 $$\frac{dU_0\mu}{d\mu}=\frac{e^{-f}}{E_\mu[e^{-f}]}$$ 此时 $u_0$ 是唯一的。为此，我们证明了一个定理：$U_0\mu$ 的相对熵等于 $u_0$ 的能量，当且仅当它具有 $\mu$-a.s. 左逆。我们利用这些结果证明了具有奇异（泛函）漂移项的随机微分方程解的强存在性，并证明了某些随机微分方程强解的不存在性。\noindent {\sl 关键词：} 可逆性，熵，Girsanov 定理，变分法，Malliavin calculus，大偏差