关于Bessel函数平方的积分变换恒等式与不等式

本文考察积分变换 $T_{\nu} f(s) := \pi \int_0^\infty rs J_{\nu}(r s)^2 f(r) \, dr$，其中 $J_{\nu}$ 表示第一类Bessel函数。Walther（2002）指出，这一变换在研究自由Schrodinger方程在 $\mathbb{R}^d$ 上的平滑估计最优常数中发挥关键作用。Bez等人（2015）则采用不同方法研究这些最优常数，并得到一种包含 $d$ 维傅里叶变换的替代表达式 $x \mapsto f(\lvert x \rvert)$ 当 $\nu = k + d/2 - 1$ 且 $k \in \mathbb{N}$ 时成立。本文旨在扩展其对非整数指数的身份，并从中派生若干不等式。