关于球对称传输特征值问题中 Bessel 函数的 Neumann 级数

传输特征值问题（TEP）在反向散射理论中占据核心位置。尽管已有大量理论进展，但求解具有可变折射率的球对称域中direct和inverse TEP（涵盖实数和复数特征值）的数值解仍具有挑战性。本研究引入一种新颖的 Bessel 函数 Neumann 级数方法（NSBF）来应对这一挑战。通过进行 Liouville 变换将 TEP 重构为 Sturm-Liouville 方程，我们将其特征函数展开为 NSBF，其系数通过简单递归积分计算。在direct问题中，通过在截断 NSBF 部分和中寻找根来找到特征值（无论是实数还是复数），可实现高度精度，且仅需少数系数即可实现，众多实例已证明这一点。在inverse问题中，我们发展了两步方法：首先，通过一种新的基于 NSBF 的算法从谱数据恢复变换区间长度 $\delta$，其次，通过求解 NSBF 系数的线性方程组来重建折射指数 $n(r)$。还实现了一种光谱完成技术，用于在特征值数据有限的情况下完成光谱并求解相应的逆问题。数值实例确认了该方法在各种折射指数范围内的鲁棒性和精度，且无需对 $\delta$ 或对比度 $1-n(r)$ 的符号进行先验假设。