规范非线性 Schr"odinger 方程的变分分析

本文的研究动机源于二维空间中包含所谓 Chern-Simons 项的规范 Schr"odinger 方程。对径向稳态的研究导出了如下非局部问题：$$- \Delta u(x) + \left(\omega + \frac{h^2(|x|)}{|x|^2} + \int_{|x|}^{+\infty} \frac{h(s)}{s} u^2(s)\, ds \right) u(x) = |u(x)|^{p-1}u(x),$$ 其中 $$h(r)= \frac{1}{2}\int_0^{r} s u^2(s) \, ds.$$ 该问题是某个能量泛函的 Euler-Lagrange 方程。本文完成了对该泛函全局行为的研究。我们证明，对于 $p\in(1,3)$，该泛函是否有下界取决于 $\omega$ 的取值。令人惊讶的是，$\omega$ 的阈值是显式的。基于此项研究，我们证明了正解的存在性与非存在性。