内蕴非线性势与拟线性椭圆方程的 Wolff 不等式

我们证明了所谓内蕴非线性势的 Wolff 不等式的一个类比，该势与拟线性椭圆方程 $$-\Delta_{p} u = \sigma u^{q} \quad \text{in} \;\; \mathbb{R}^n,$$ 在次自然增长情形 $0<q< p-1$ 下相关联，其中 $\Delta_{p}u = \text{div}( |\nabla u|^{p-2} \nabla u )$ 是 $p$-Laplacian，$\sigma$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数（或测度）。作为应用，我们给出了该问题存在正解 $u \in L^{r}(\mathbb{R}^{n})$（$0<r<\infty$）的充要条件，这在即便 $p=2$ 的情形下也是未解决的。我们这一关于内蕴非线性势的 Wolff 不等式版本依赖于由 $\mathbb{R}^n$ 中二进立方体的特征函数所定义的离散 Littlewood-Paley 空间 $f^{p, q}(\sigma)$ 的一个新刻画。