加权 Hardy 不等式与 Kolmogorov 型算子

我们给出陈述加权 Hardy 不等式 $$c\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\varphi^2} {|x|^2}d\mu\leq\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla \varphi |^2 d\mu+C\int_{\mathbb{R}^N} \varphi^2d\mu,\quad \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N),\,c\leq c_{0,\mu},$$ 关于概率测度 $d\mu$ 的一般条件。此外，还给出了常数 $c_{0,\mu}$ 的最优性。该不等式与以下由奇异势微扰的 Kolmogorov 方程相关 $$Lu+Vu=\left(\Delta u+\frac{\nabla \mu}{\mu}\cdot \nabla u\right)+\frac{c}{|x|^2}u$$ 由此可以研究相应抛物型问题正解的存在性。关于 $d\mu$ 的假设允许漂移项为 $\frac{\nabla \mu}{\mu}= -|x|^{m-2}x$ 的类型，其中 $m> 0$。