与 Grushin 型算子相关的加权 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式

我们考虑 $\mathbb{R}^{d}_x \times \mathbb{R}^{k}_y$ 上形式为 \begin{equation*} G_\mu=\overset{d}{\underset{i=1}{\sum}}\partial_{x_i}^2+\left(\overset{d}{\underset{i=1}{\sum}}x_i^2\right)^{2\mu}\overset{k}{\underset{j=1}{\sum}}\partial_{y_j}^2. \end{equation*} 的 Grushin 型算子，并导出与 $G_\mu$ 相关的加权 Hardy-Sobolev 型不等式和加权 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式。