$\mathbb{R}^n$ 中一般集合的 $d$ 维分析者旅行商定理

在 1990 年的论文中，Jones 证明了如下结论：给定 $E \subseteq \mathbb{R}^2$，存在曲线 $\Gamma$ 使得 $E \subseteq \Gamma$ 且 $$\mathscr{H}^1(\Gamma) \sim \text{diam}\, E + \sum_{Q} \beta_{E}(3Q)^2\ell(Q).$$ 此处，$\beta_E(Q)$ 度量 $E$ 在 $Q$ 内偏离直线的程度。该结果被 Okikiolu 推广至 $\mathbb{R}^n$ 的子集，并被 Schul 推广至希尔伯特空间的子集。2018 年，Azzam 与 Schul 引入了 Jones $\beta$ 数的一种变体。借此，他们以及独立的 Villa 证明了 $\mathbb{R}^n$ 中低正则子集的类似结果。特别地，Villa 证明了：给定 $E \subseteq \mathbb{R}^n$ 为低容度正则的，存在‘良好’的 $d$ 维曲面 $F$ 使得 $E \subseteq F$ 且 \begin{align} \mathscr{H}^d(F) \sim \text{diam}( E)^d + \sum_{Q} \beta_{E}(3Q)^2\ell(Q)^d. \end{align} 在此背景下，集合 $F$ 若满足某种拓扑非退化条件则为‘良好’，该条件首见于 David 2004 年的论文。本文中我们去掉低正则条件，并证明了 $\mathbb{R}^n$ 中一般 $d$ 维子集的类似结果。为此，我们引入了 Jones $\beta$ 数的一种新的 $d$ 维变体，其定义适用于 $\mathbb{R}^n$ 中任意集合。