可计算曲线上的点

几何测度论中的“分析师旅行商定理”刻画了欧几里得空间中那些被包含在有限长度曲线中的子集。该结果由 Jones 在平面上证明（1990年），并由 Okikiolu 拓展到更高维的欧几里得空间。该定理指出：一个有界集合 K 被包含在某条有限长度曲线中当且仅当涉及该集合在无限重叠“砖块”系统中每个元素的“宽度”的某种“平方 beta 和”是有限的。本文通过形式化并证明可计算的延伸来刻画那些位于欧几里得空间中可计算有限长度曲线上的点。我们的延伸指出：欧几里得空间中的一个点位于某条可计算有限长度曲线中当且仅当它被某个可计算的“Jones 限制”所“允许”。此处的 Jones 限制是将一个有理圆柱分配给上述每个砖块的显式赋值，使得当将该圆柱对应的半径用于替换每个砖块中“K 的宽度”时，平方 beta 和为有限。若一个点被 Jones 限制所允许，是指该点被分配给包含该点的每个砖块的圆柱所包含。我们证明的主要部分是构造一条遍历给定 Jones 限制所允许的全部点的有限长度可计算曲线。我们的构造使用了 Jones 的“最远插入”构造的主要思想，但我们的算法必须仅与 Jones 限制本身工作，因为它无法直接访问（通常是不可计算的）被 Jones 限制所允许的点。