Holder曲线与分析者旅行商定理中的参数化

我们研究欧氏空间和无限维Hilbert空间中集合的几何。我们建立了保证点集包含于$(1/s)$-H"older连续映射$f:[0,1]\rightarrow l^2$ ($s>1$)的像中的充分条件。我们的结果受分析者旅行商定理的“充分半边”启发并推广了该半边，后者用称为Jones beta数的线性逼近数的二次和来刻画$\mathbb{R}^N$或$l^2$中可求长曲线的子集。分析者旅行商定理的原始证明依赖于1920年代著名的曲线可求长的度量刻画，而该刻画对H"older曲线等高维曲线不可用。为克服此障碍，我们重新构想了Jones的非参数证明，并展示了如何构造中间逼近曲线$f_k([0,1])$的参数化。随后我们给出基于管逼近的条件以确保逼近曲线收敛到一条H"older曲线。作为一个应用，我们给出了保证$\mathbb{R}^N$中点态加倍测度的分数可求长性的充分条件。