$C^{1,\alpha}$ 可整流性的几何判据

我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 子集用 $C^{1,\alpha}$ 映射（$0<\alpha\leq 1$）的 $\mathcal{H}^k$-可整流性判据，以适当的近似切抛物面表述。我们还给出了在无先验切平面情形下的一个版本，通过在二进尺度上度量集合与位于某 $k$-平面内的接近程度。随后我们讨论其与涉及 Peter Jones 的 $\beta$ 数的类似判据的关系，特别证明了充分条件为对小 $r$，$r^{-\alpha}\beta_p(x,r)$ 的有界性，对 $\mathcal{H}^k$-几乎处处的 $x$ 及任意 $1\leq p\leq \infty$ 成立。