关于汉明空间之间映射的度量性质及相关图同态

若将 $k$ 位字符串映射到 $n$ 位字符串，且相距超过 $\alpha k$ 的 $k$ 位字符串被映射为相距超过 $\beta n$ 的 $n$ 位字符串，则称该映射为 $(\alpha,\beta)$-映射。这是构造纠错码经典问题的一个松弛，对应于 $\alpha=0$。$(\alpha,\beta)$-映射的存在等价于图同态 $\bar H(k,\alpha k)\to \bar H(n,\beta n)$ 的存在，其中 $H(n,d)$ 是以 $\{0,1\}^n$ 为顶点集、边连接差异在 $d$ 或更少个分量上的顶点的汉明图。本文证明了在 $n,k\to\infty$ 且固定比率 ${n\over k}= \rho$ 的 regime 下，可实现的参数 $(\alpha,\beta)$ 的不可能性结果。这是通过基于图的独立数的半定松弛（称为Schrijver $\theta$-函数）建立图同态存在性的一般判据来实现的。然后利用编码理论中有关汉明图 $\theta$-函数的一些已知和新结果对该判据进行评估。作为示例，表明若 $\beta>1/2$ 且 $n/k$ 为整数，则达到 $\alpha=\beta$ 的 ${n\over k}$ 重重复映射是渐近最优的。最后，推导了 $\mathbb{F}_2$ 上射影空间中点和超平面配置的约束。