汉明图的度量维数及其在计算生物学中的应用

基因测序已成为计算生物学中日益经济且可及的基因组数据来源。该数据常表示为 $k$-mers，即选自参考字母表的固定长度 $k$ 字符串。相反，一些最有效且研究充分的机器学习算法需要数据的数值表示。所谓汉明图的度量维数概念为解决此问题提供了有前景的途径。图中一组顶点若到这些顶点的距离能唯一刻画图中每个顶点，则称为分辨集。图的度量维数是最小分辨集的顶点数。求一般图的度量维数是具挑战性的问题，事实上是 NP 完全的。近来，提出了一种在汉明图中寻找分辨集的高效算法，足以将 $k$-mers 唯一嵌入实向量空间。由于嵌入的维数是相关分辨集的基数，确定能否在保持分辨性的同时从中移除节点颇受关注。对大图这颇具挑战，因为仅知暴力法检查集合是否为分辨集。本论文中，我们用有限域上的线性系统刻画汉明图的可分辨性：一组节点是分辨集当且仅当该线性系统在所说域上仅有平凡解。我们可将域表示为多项式系统的根，从而 Gr"obner 基的工具可便捷判定节点集是否分辨。作为概念验证，我们研究了与八肽（即长度为八的蛋白质序列）相关的汉明图的可分辨性。