希尔伯特空间子集的 $d$ 维分析者旅行商定理

我们关注无限维希尔伯特空间 $H$ 中子集的定量可求长性结果。我们通过证明对任意下 $d$-正则集 $E \subseteq H$ 有 $$\text{diam}(E)^d + \beta^d(E) \sim \mathscr{H}^d(E) + \text{Error},$$ 在此设定下给出了 Azzam 与 Schul 的 $d$ 维分析者旅行商定理的一个版本，其中 $\beta^d(E)$ 给出 $E$ 的曲率度量，误差项与一致可求长性理论（由 David 和 Semmes 引入的可求长性的定量版本）相关。为此，我们展示如何修正 David 和 Toro 的 Reifenberg 参数化定理，使其能在希尔伯特空间中成立。作为推论，我们表明集合 $E \subseteq H$ 是一致可求长的当且仅当其满足所谓的双边弱几何引理，即 $E$ 在绝大多数尺度与位置上被平面双边良好逼近。