分层 β-数与卡诺群中的旅行商问题

我们为卡诺群引入了 P. Jones 的 $\beta$-数的一个修正版本，称之为{\it 分层 $\beta$-数}。我们证明了若用分层 $\beta$-数替换卡诺群中先前的 $\beta$-数概念，则关于集合 1-可求长性的 Jones 旅行商定理的类似结论对任意卡诺群均成立。由于我们推广了旅行商定理的两个方向，我们得到了卡诺群中位于有限长度可求长曲线上的子集的一个刻画。我们的证明扩展了先前对卡诺群的 Hebisch-Sikora 范数的分析。特别地，我们发现了几乎平行线段之间漂移的新估计，利用了分层 $\beta$ 数，并发展了该范数的一种泰勒展开技术。我们还给出了一个卡诺群的例子，对于它，基于未修正 $\beta$-数的旅行商定理必须在必要方向与充分方向之间表现出间隙。