保持平行四边形面积的实 Hilbert 空间映射及自伴算子上的保量问题

本文首先刻画了 $\mathbb{R}^d$ ($2\leq d<\infty$) 上所有（未必线性或双射）保持任意两个向量张成的平行四边形面积的变换。我们还刻画了任意实 Hilbert 空间上保持该量的（未必线性）双射。这回答了 Rassias 和 Wagner 提出的一个问题，并可视为实 Hilbert 空间上著名的 Wigner 定理的一个变体，该定理在量子力学中起着重要作用。作为推论，我们解决了 Moln\'ar 和 Timmermann 提出的一个保量问题，该问题仅在二维情形下一直悬而未决。最后，我们将利用这一二维结果来加强他们在高维情形下的定理。