射影空间与球的对称性

设 $H$ 为维数至少为二的复内积空间，或维数至少为三的实内积空间。固定 $\alpha\in \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$。本文旨在刻画射影空间 $P(H)$（由 $H$ 生成）上所有双向保持直线间夹角 $\alpha$ 的双射变换。（我们强调，不对其他角度作任何假设）。对于实内积空间以及 $H=\mathbb{C}^2$ 的情形，我们对每个 $\alpha$ 均实现了这一刻画；而当 $H$ 为维数至少为三的复内积空间时，我们描述了 $\alpha\leq\tfrac{\pi}{4}$ 时这些变换的结构。作为应用，我们给出了 Wigner 一个著名定理的 Uhlhorn 型推广，该定理被认为是量子力学数学基础的基石。即，我们证明在上述假设下，量子力学系统纯态集合上每个双向保持转移概率 $\cos^2\alpha$ 的双射映射均为 Wigner 对称（即自动保持所有转移概率），除非 $H=\mathbb{C}^2$ 且 $\alpha = \tfrac{\pi}{4}$ 时会出现一种额外可能。我们注意到，Uhlhorn 的经典定理是 $\alpha = \tfrac{\pi}{2}$ 情形的解。文献中与 Wigner 定理相关的结果通常在 $H$ 完备的假设下进行讨论，然而本文将去除这一不必要的假设。我们的主要工具是实内积空间单位球上双向保持某一角度的双射映射的刻画，以及 Uhlhorn 定理在非完备内积空间上的推广。