等价子空间对的 Wigner 型定理（非满射）

设 $H$ 为无限维复 Hilbert 空间，${\mathcal G}_{\infty}(H)$ 为所有闭子空间的集合，其维数和余维均为无限。我们研究作用于 ${\mathcal G}_{\infty}(H)$ 的变换，这些变换将每个子空间对映射到等价的子空间对；若存在线性保距映射将一个子空间对映射到另一个子空间对，则称这两个子空间对等价。设 $f$ 为此类变换。我们证明，存在唯一一个（标量倍数意义下）线性或共轭线性保距映射 $L:H\to H$，使得对每一个 $X\in {\mathcal G}_{\infty}(H)$，映像 $f(X)$ 是 $L(X)$ 与某个与 $L$ 映像范围正交的闭子空间 $O(X)$ 的和。在可分离情形下，我们给出充分条件：若存在某个 $X\in {\mathcal G}_{\infty}(H)$ 满足 $O(X)=0$，则对所有 $X\in {\mathcal G}_{\infty}(H)$ 都成立。