Hilbert 格拉斯曼流形中的正交公寓。有限维情形

设 $H$ 为有限维 $n\ge 3$ 的复 Hilbert 空间。用 ${\mathcal G}_{k}(H)$ 表示由 $H$ 的 $k$ 维子空间组成的 Grassmann 流形。${\mathcal G}_{k}(H)$ 的每个正交公寓由 $H$ 的某个正交基定义，并由该基的子集张成的所有 $k$ 维子空间构成。对于 $n\ne 2k$（除 $n=6$ 且 $k$ 等于 $2$ 或 $4$ 的情形外），我们证明 ${\mathcal G}_{k}(H)$ 的将正交公寓映到正交公寓的任意双射变换是由 $H$ 上的酉算子或共轭酉算子诱导的。第二个结果如下：若 $n=2k\ge 8$ 且 $f$ 是 ${\mathcal G}_{k}(H)$ 的双射变换，使得 $f$ 与 $f^{-1}$ 都将正交公寓映到正交公寓，则存在酉算子或共轭酉算子 $U$，使得对每个 $X\in {\mathcal G}_{k}(H)$，我们有 $f(X)=U(X)$ 或 $f(X)$ 与 $U(X)$ 的正交补一致。