关于作用于 Hilbert 空间的对称乘积

设 $\mathcal{H}$ 为复可分 Hilbert 空间（可为有限或无限维），记 $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ 为其上的酉算子群。对称定义为满足 $J^2 =I$ 的酉算子 $J$。记 $\text{Sym}_k(\mathcal{H})$ 为 $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ 中可表示为 $k$ 个对称乘积的算子子集。已知若 $\dim \, \mathcal{H} = \infty$，则 $\mathcal{U}(\mathcal{H}) = \text{Sym}_4(\mathcal{H})$，而有限维情形的唯一额外条件是行列式为 $\pm 1$。在所有集合 $\text{Sym}_k(\mathcal{H})$（其中 $k \in \{ 1, 2, 3, 4\}$）中，$k =3$ 的情况一直是最难被刻画的。本文我们进一步研究了在 Hilbert 空间有限维情况下，$\text{Sym}_3(\mathcal{H})$ 中哪些算子恰好具有两个特征值的情形。我们也考虑了如下问题：当算子 $T$ 的酉轨迹，即集合 $$\{ U^* T U : U \in \mathcal{U}(\mathcal{H}) \}$$ 与其 $\text{Sym}_k$-轨迹，即集合 $$\{ U^* T U: U \in \text{Sym}_k(\mathcal{H})\}$$ 是否相同？显然感兴趣的情形是 $k \le 3$。