单诺玛玄轨道

本文讨论了单诺玛矩阵 $CUC$ 的各种方面,其中 $U$ 是复 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的固定酉算子,而 $C$ 随意取 Hilbert 空间中所有共轭算子(仄线性、等距、幂等). 我们称这类酉算子为 $U$ 的{\em 单诺玛轨道},记作 $\mathfrak{O}_c(U)$. 我们将看到, Hilbert 空间伴随算子 $U^{*}$ 总是属于 $\mathfrak{O}_c(U)$,而 $U$ 仅当 $U$ 与 $U^{*}$ 等价时才属于 $\mathfrak{O}_c(U)$,这在 $U$ 属于 $\mathfrak{O}_c(U)$ 时是一种不寻常的现象. 我们完全描述了经典双边平移的单诺玛轨道,并讨论了酉乘法算子在单位圆上经典 Lebesgue 空间是否属于该单诺玛轨道. 我们还将讨论扩展至高阶数值的双边平移,通过酉等价性,使其与其他有趣的酉算子如实数线上 Lebesgue 空间上的平移算子和膨胀算子相联系. 有限酉矩阵为我们提供了单诺玛酉轨道的丰富实例. 特别是,我们确定哪些对角矩阵(若有)属于固定酉矩阵的单诺玛轨道. 与有限酉矩阵紧密相关的是相对于某些(可能是无限的)正交基可对角化的酉算子. 我们给出一大类这些酉算子变体,它们属于单诺玛轨道,并在经典 Fourier-Plancherel 和 Hilbert 变换之间建立联系. 最终,我们使用实 Hilbert 空间构建酉算子模型,以描述单诺玛轨道并以另一种方式重访我们之前的讨论.