具有反射对称性的算子的对角化

设 $U$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_{0}$ 中的一个算子,并设 $\mathcal{K}\subset\mathcal{H}_{0}$ 是一个闭的不变子空间。假设 $\mathcal{H}_{0}$ 中存在一个周期为 2 的酉算子 $J$,使得 $JUJ=U^*$,且 $PJP \geq 0$,其中 $P$ 表示 $\mathcal{H}_{0}$ 到 $\mathcal{K}$ 上的投影。我们证明此时存在一个 Hilbert 空间 $\mathcal{H}(\mathcal{K})$、一个压缩算子 $W:\mathcal{K}\to\mathcal{H}(\mathcal{K})$ 以及 $\mathcal{H}(\mathcal{K})$ 中的一个自伴算子 $S=S(U)$,满足 $W^*W=PJP$、$W$ 具有稠密值域,且 $SW=WUP$。此外,给定具有所述性质的 $(\mathcal{K},J)$,系统 $(\mathcal{H}(\mathcal{K}),W,S)$ 在酉等价意义下是唯一的,并满足结论中的三个条件。我们还给出了该结构的一个算子论模型,其中 $U|_{\mathcal{K}}$ 是具有无限重数的纯移位,且我们证明 $\ker(W)=0$。对于该情形,我们根据 $U$ 的结构性质描述了自伴算子 $S(U)$ 的谱。在该模型中,$U$ 将实现为形如 $f(x)\mapsto f(cx)$、$c>1$ 的酉伸缩算子,并据此由给定数 $c$ 算出 $S(U_{c})$ 的谱。