两类无界 Hankel 算子的对角化

我们证明每个 Hankel 算子 $H$ 都酉等价于一个作用在空间 $L^2 ({\Bbb R})$ 中具有特殊结构的伪微分算子 $A$。作为示例，我们考虑空间 $L^2 ({\Bbb R}_{+})$ 中具有核 $P (\ln (t+s)) (t+s)^{-1}$ 的积分算子 $H$，其中 $P(x)$ 是任意 $K$ 次实多项式。在此情形下，$A$ 是一个同阶 $K$ 的微分算子。这使得我们能够研究具有此类核的 Hankel 算子 $H$ 的谱性质。特别地，我们证明当 $K$ 为奇数时，$H$ 的本质谱与整个实轴重合；当 $K$ 为偶数时，其与正半轴重合。在后一种情况下，我们还找到了 $H$ 正定性的充要条件。此外，我们考虑了核在某正点处具有强奇异性的一类 Hankel 算子。我们证明此类算子的谱由无限重数的零特征值以及分别积聚于 $+\infty$ 和 $-\infty$ 的特征值组成。我们求出了这些特征值的渐近行为。