Carleman 算子扰动的谱与散射理论

我们研究了 Carleman 算子（核为 $h_{0}(t)=t^{-1}$ 的 Hankel 算子）的谱性质，特别是找到了其预解式的显式公式。随后，我们考虑了 Carleman 算子 $H_{0}$ 受到 Hankel 算子 $V$ 的扰动，其中 $V$ 的核 $v(t)$ 在 $t\to\infty$ 时衰减足够快且在 $t=0$ 处不过于奇异。我们的目标是为算子对 $H_{0}$ 和 $H=H_{0} +V$ 发展散射理论，并构建 Hankel 算子 $H$ 连续谱本征函数的展开式。我们还证明了在一般假设下，算子 $H$ 的奇异连续谱为空，且其本征值仅可能积聚于 $H_{0}$ 谱的边缘点 0 和 $\pi$。我们找到了算子 $H$ 位于 Carleman 算子 $H_{0}$（连续）谱之上的本征值总数有限的简单条件，并获得了该数的显式估计。所构建的理论在某种程度上类似于一维微分算子理论。