微分与汉克尔算符的谱与散射理论

我们考虑一类在 $L^2 ({\Bbb R}_{+})$ 空间中实现的汉克尔算符 $H$，其作为以 $h(t+s)$ 为核的积分算符，其中 $h(t)=P (\ln t) t ^{-1}$，$P(X)= X^n+p_{n-1} X^{n-1}+\cdots$ 是次数为 $n$ 的任意实多项式。当 $n =0$ 时，该类包含经典的卡莱曼算符。我们证明，此类中的汉克尔算符 $H$ 可通过一个{\it 显式}酉变换（本质上通过梅林变换）约化为空间 $L^2 ({\Bbb R})$ 中的微分算符 $A = v Q(D) v$。这里 $Q(X)= X^n+ q_{n-1} X^{n-1}+\cdots$ 是由 $P(X)$ 确定的多项式，且 $v(\xi)=\pi^{1/2} (\cosh(\pi\xi))^{-1/2}$ 是普适函数。随后，算符 $A = v Q(D) v$ 通过广义刘维尔变换约化为标准微分算符 $B = D^n+ b_{n-1} (x)D^{n-1}+\cdots+ b_{0} (x)$，其系数 $b_{m}(x)$（$m=0,\ldots, n-1$）在 $|x|\to \infty$ 时衰减得足够快。这使我们能利用微分算符的谱理论结果来研究广义卡莱曼算符的谱性质。特别地，我们证明 $H$ 的绝对连续谱是简单的，若 $n$ 为奇数则与 $\Bbb R$ 重合；若 $n\geq 2$ 为偶数则具有重数 $2$ 且与 $[0,\infty)$ 重合。$H$ 的奇异连续谱为空，其本征值仅可能累积到点 $0$。作为我们考虑的副产品，我们发展了新型{\it 退化}微分算符 $A = v Q(D) v$ 的谱理论，其中 $Q(X)$ 为任意实多项式，$v(\xi)$ 为在无穷远处衰减的足够任意的实函数。