关于共形场论中一个功能差算子的谱理论

本文研究了一个功能差算子 $H=U+U^{-1}+V$，其中 $U$ 和 $V$ 是满足 $UV=q^{2}VU$ 的自伴 Weyl 算子，且 $q=e^{\pi i\tau}$，$\tau>0$。算子 $H$ 在共形场论和量子群表示论中具有应用。利用模量子 dilogarithm（即 Euler dilogarithm 的 $q$-变形），我们定义了散射解和 Jost 解，推导了 Hilbert 空间 $L^{2}(\mathbb{R})$ 中自伴算子 $H$ 的预解式的显式公式，并证明了本征函数展开定理。后者是特殊函数理论中著名的 Kontorovich-Lebedev 变换的 $q$-变形。我们还提出了算子 $H$ 的散射理论表述。