$L^2$函数平移的最优分解

本文提出了一种针对有限族交换算子的谱函数的计算方法，并给出了应用。受小波和信号处理中问题的启发，我们研究了希尔伯特空间$L^2(\mathbb{R}^n)$中函数积分平移的谱集中问题。我们的方法更普遍地适用于复希尔伯特空间$\mathcal{H}$中$n$个任意交换酉算子族，或者等价地，适用于$\mathbb{R}^n$中秩为$n$的格$\mathbb{Z}^n$的酉表示$U$的谱理论。从非零向量$\psi \in \mathcal{H}$出发，我们寻找由$\psi$生成的$\mathcal{H}$中循环子空间内向量之间的关系。由于这些向量$\{U(k)\psi | k \in \mathbb{Z}^n\}$涉及无限的“线性组合”，因此出现了对这些非平凡线性关系进行几何刻画的问题。该问题的一个特例最初出现在柯尔莫哥洛夫的工作中，被称为$L^2$独立性。这指的是具有$l^2$系数的固定函数的积分平移的*无限*线性组合。虽然我们受小波和框架理论中出现的平移算子研究的启发，但我们强调，目前的结论具有普遍性；我们的定理是关于一般酉算子的谱密度以及随机积分的。