论量子力学中的自伴延拓与对称性

给定李群 $G$ 在希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的一个酉表示，我们利用冯·诺依曼定理和二次型理论，发展了对称算子的 $G$-不变自伴延拓理论。我们还分析了酉表示的约化理论与 $G$-不变无界算子约化之间的关系。此外，我们证明了二次型表示定理的 $G$-不变版本。将上述结果应用于研究光滑黎曼流形边界上拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的 $G$-不变自伴延拓，其中群 $G$ 作用于该流形。这些延拓由作用在边界 $L^2$ 空间上且在 $-1$ 处具有谱隙的可容许酉算子 $U$ 标记。结果表明，如果对称群 $G$ 的酉表示 $V$ 是可迹的，那么当 $U$ 和 $V$ 在边界处对易时，由 $U$ 确定的拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的自伴延拓是 $G$-不变的。文末讨论了若干重要实例。