李代数表示的对称平方中的伴随表示
表示论
2024-05-10 v3 群论
摘要
*注意：我们事后了解到，这些结果大多并非新颖。出于连续性考虑，我们保留本文。* 给定一个单连通半单紧李群 G 的有限维复表示 V 和 V'，我们确定 adj(G)⊗V⊗V'、adj(G)⊗S²V 以及 adj(G)⊗Λ²V 中 G-不变子空间的维数，其中 adj(G) 是伴随表示。换言之，我们推导了 adj(G) 的直和分量在张量积 V⊗V' 或（反）对称平方 S²V 或 Λ²V 中出现的重数。我们特别发现，对于辛表示 V，adj(G)⊗S²V 的 G-不变子空间维数大于 adj(G)⊗Λ²V 的维数；对于正交表示 V，则小于或等于。
引用
@article{arxiv.2401.08489,
title = {Adjoints in symmetric squares of Lie algebra representations},
author = {Bruno Le Floch and Ilia Smilga},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.08489},
year = {2024}
}
备注
14 pages. The $\mu = \overline{\nu}$ case of our Theorem 1.3, as well as our Theorem 1.4, already appear in the literature; we added the relevant references