与 $S_m$ 的某些子群相关的笛卡尔对称类

设 $V$ 为一个 $n$ 维内积空间。假设 $G$ 是 $m$ 次对称群的一个子群，且 $\lambda$ 是 $G$ 的一个不可约特征标。考虑定义在笛卡尔空间 $\times^{m}V$ 上的 \emph{笛卡尔对称化子} $C_{\lambda}$，其定义为 $$C_{\lambda} = \frac{\lambda(1)}{|G|}\sum_{\tau\in G} \lambda(\tau) Q(\tau).$$ 向量空间 $V^{\lambda}(G) = C_{\lambda}(\times^{m}V)$ 被称为与 $G$ 和 $\lambda$ 相关的笛卡尔对称类。在本文中，我们给出了循环子空间 $V^{\lambda}_{ij}$ 维数的一个公式。然后我们讨论了笛卡尔对称类 $V^{\lambda}(G)$ 存在 $O$-基的问题。此外，我们计算了当 $G = \langle \sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{p} \rangle$ 或 $G = <\sigma_{1}><\sigma_{2}> \cdots <\sigma_{k}>$ 时对称类 $V^{\lambda}(G)$ 的维数，其中 $\sigma_i$ 是 $S_{m}$ 中的不相交循环。这些维数通过 Ramanujan 和表示。另外，我们为与二面体群 $D_{2m}$ 的不可约特征标相关的笛卡尔对称类提供了 $O$-基存在的充分必要条件，并计算了这些类的维数。