秩一正交群表示的对称性破缺 II

对于约化群对 $(G,G')=(O(n+1,1), O(n,1))$，我们研究主级数表示 $I_\delta(V,\lambda)$（属于 $G$）与子群 $G'$ 的 $J_\epsilon(W,\nu)$ 之间的交织算子（对称性破缺算子）。这些表示由 $O(n)$ 与 $O(n-1)$ 的有限维表示 $V,W$、O(1) 的特征标 $\delta$, $\varepsilon$ 以及 $\lambda, \nu \in C$ 所参数化。在限制 $V|_{O(n-1)}$ 中出现的 $W$ 的重数 $[V:W]$ 为 0 或 1。若 $[V:W] \ne 0$，则我们构造一个对称性破缺算子的全纯族，并证明对所有参数 $\lambda$, $\nu$ 与 $\delta$, $\epsilon$，$Hom_{G'}(I_{\delta}(V, \lambda)|_{G'}, J_{\epsilon}(W, \nu))$ 的维数非零；而若 [V:W] = 0，则可能存在零星的微分对称性破缺算子。我们提出一种“分类方案”以显式找出所有矩阵值对称性破缺算子，并在 $V$ 与 $W$ 为外张量表示时完整实施了该方案。在共形几何中，我们的结果给出了从黎曼流形 $X$ 上的微分形式到模型空间 $(X, Y) = (S^n, S^{n-1})$ 中子流形 $Y$ 上的微分形式的共形协变算子的完全分类。我们利用这些结果确定了 $G$ 与子群 $G'$ 的任意具有平凡无穷小特征的不可约表示对的对称性破缺算子。此外，我们证明了 Gross 与 Prasad 关于 $(SO(n+1,1),SO(n,1))$ 的 tempered 主级数表示以及关于具有平凡无穷小特征的 $SO(2m+2,1)$、$SO(2m+1,1)$ 与 $SO(2m,1)$ 的三个 tempered 表示 $\Pi, \pi, \varpi$ 的重数猜想。在自守形式理论方面，我们应用主要结果找到了具有非零 (g, K)-上同调的洛伦兹群不可约表示的“周期”。