含一个紧致成员的偶对的对称性破缺算子

我们考虑一个偶对 $(G, G')$（Howe 意义下），其中紧致的 G 通过 Weil 表示 $\omega$ 作用于 $L^2(\mathbb{R}^n)$（对适当的 $n$）。令 $\tilde{\mathrm{G}}$ 为 G 在亚辛群中的原像。给定 $\tilde{\mathrm{G}}$ 的一个真不可约酉表示 $\Pi$，令 $\Pi'$ 为 Howe 对偶中 $\tilde{\mathrm{G}'}$ 的相应不可约酉表示。到 $\Pi$-同型分量 $L^2(\mathbb{R}^n)_\Pi$ 的正交投影是 $\mathrm{Hom}_{\tilde{\mathrm{G}}\tilde{\mathrm{G}'}}(\mathcal{H}_\omega^{\infty}, \mathcal{H}_\Pi^{\infty}\otimes \mathcal{H}_{\Pi'}^{\infty})$ 中本质唯一的对称性破缺算子。我们通过计算其 Weyl 符号来研究该算子。当 $\tilde{\mathrm{G}}$ 的秩严格大于 $\tilde{\mathrm{G}'}$ 的秩时，我们的结果使我们能重新得到 Howe 对应中出现的 $\tilde{\mathrm{G}}$ 不可约表示最高权的已知列表。它们也使我们能以初等方法计算 $\Pi'$ 的波前集。