非阿基米德局部域上 $\operatorname{PGL}(2)$ 的对称性破缺

对于非阿基米德局部域的二次扩张 $\mathbb{E}/\mathbb{F}$，我们构造了 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{E})$ 与 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F})$ 的主级数表示之间显式的全纯交织算子族，亦称对称性破缺算子。这些算子族由其分布核给出，这些核可视为 $\mathbb{E}$ 上依赖于主级数参数的全纯分布。对所有此类参数，我们确定了这些分布的支持集，并研究了其映射性质。由此得到了主级数表示之间（不必不可约）所有交织算子的分类。作为一个应用，我们证明了 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{E})$ 的每个 Steinberg 表示都包含一个 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F})$ 的 Steinberg 表示作为 Hilbert 空间的直接和项。