实射影空间上线丛的对称性破缺算子

实射影空间 $\mathbb{R}{\rm P}^n$ 上等变线丛的光滑截面空间构成了群 ${\rm GL}(n+1,\mathbb{R})$ 的一个自然表示。我们显式构造并分类了此类 ${\rm GL}(n+1,\mathbb{R})$ 表示与其子群 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ 之间关于该子群的交织算子。这种形式的交织算子称为对称性破缺算子,它们描述了 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ 的表示在 ${\rm GL}(n+1,\mathbb{R})$ 表示的限制中的出现。由此,我们的结果有助于研究实约化对 $({\rm GL}(n+1,\mathbb{R}),{\rm GL}(n,\mathbb{R}))$ 的分支问题。我们针对线丛代数截面之间的交织算子进行了类似的分类,其中 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ 的李群作用被其李代数 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ 的作用所替代,结果表明所有交织算子均作为光滑截面间算子的限制而出现。