有限维量子力学中的约化：从对称群到算子代数及其超越

对称性简化或约化系统复杂度的思想在物理学中极为 fruitful，尤其在量子力学中。在数学层面上，对称群在 Hilbert 空间中挑出某种导致约化的结构。该结构由群的不可约表示给出，且一般可识别为算子代数（亦称 C*-代数或 von Neumann 代数）。本论文的主要焦点是将约化框架从对称群推广至算子代数，及其在有限维量子力学中的应用。寻找不可约表示结构是使用算子代数时的核心问题。因此我们回顾有限维算子代数的表示理论，并借助两个新概念——极小等距与二分表——阐明该问题。我们给出的主要技术结果之一是用于解析推导算子代数不可约表示结构的散射算法。在应用方面，我们引入一种与对称性无关的动力学约化方法，规避了识别对称性的非平凡任务，直接约化由 Hamiltonian 生成的动力学。我们亦考虑由操作约束（如偏迹或 twirl 映射）引起的量子态约化，并研究操作约束如何导致退相干。此外，我们将约化思想从算子代数推广至算子系统，并形式化了此前仅存于经典概率论中的量子粗粒化概念。我们亦刻画了在粗粒化测量下不确定性原理如何过渡至经典 regime，并讨论有限维设定下的含义。