实 Hilbert 空间中的量子理论：复 Hilbert 空间结构如何从 Poincaré 对称性中产生

正如 Solèr 所确立的，量子理论只能在实、复或四元数 Hilbert 空间中表述。Stückelberg 基于 Heisenberg 原理给出了排除实 Hilbert 空间的物理理由。从另一个视角关注这一问题，我们论证了基本量子系统不在实 Hilbert 空间中描述的一个根本原因：其对称群。我们在 Wigner 方法框架内考虑一个基本相对论性系统，将其定义为 Poincaré 群在实 Hilbert 空间中局部忠实的不可约连续酉表示。我们证明，如果平方质量算符是非负的，该系统容许一个自然的、Poincaré 不变的且在相差一个符号的意义下唯一的复结构，该复结构与表示生成的整个可观测量代数交换。所有这些导致了在复 Hilbert 空间中一个物理等价的表述。与实情形中发生的情况不同，这里所有自伴算符都是可观测量，符合 Solèr 的论点，并且 Noether 定理的标准量子版本成立。接下来，我们关注用于定义量子基本相对论系统所采用的物理假设，对其进行放宽以使我们的模型在物理上更具一般性。我们使用一个仅在可观测量代数方面物理上更精确的不可约性概念，用基本命题的限制格的自同构来描述对称性，并采用一个与状态相关的连续性概念。在这种情况下，最终结果同样证明存在一个唯一的（在相差一个符号的意义下）Poincaré 不变复结构，使得该理论复化并完全符合 Solèr 的图景。这一复结构揭示了 Poincaré 对称性与不可约实 von Neumann 代数的换位子分类之间的巧妙相互作用。