四元数 Hilbert 空间中的量子理论：Poincaré 对称性如何将理论约化为标准复形式

我们将群表示论和 von Neumann 代数的一些结果推广到四元数 Hilbert 空间情形，证明了双换位子定理（其四元数证明需要不同的过程），并将关于不可约 von Neumann 代数分类的一个结果推广到四元数情形。其次，我们考虑 Wigner 观点下的初等相对论系统，将其定义为 Poincaré 群在四元数 Hilbert 空间中的局部忠实不可约强连续酉表示。我们证明，如果平方质量算子是非负的，该系统容许一个自然的、Poincaré 不变的且在相差一个符号的意义下唯一的复结构，该复结构与系统的可观测量交换，从而导出在复 Hilbert 空间中物理等价的重新表述。与四元数表述不同，现在所有自伴算子都是可观测量，Noether 定理成立，且复合系统可以用张量积表示。在第三部分，我们使用一个物理上更精确的相对论初等系统概念：不可约性仅涉及可观测量代数，对称性是初等命题的限制格的自同构，并且我们采用一种将态视为初等命题上概率测度的连续性概念。我们再次证明存在一个唯一的（在相差一个符号的意义下）Poincaré 不变复结构使该理论复化。即使从实或四元数 Hilbert 空间表述出发，相对论初等系统也能在复 Hilbert 空间中被自然且更好地描述，并且这种复描述是由物理学唯一确定的。