四元数分析、表示论与物理学

我们以共形群各种实形式的表示论为指导原则，发展四元数分析。我们首先回顾 Cauchy-Fueter 公式和 Poisson 公式，并阐释其表示论含义。表示的酉性要求促使我们将这些公式推广至闵可夫斯基空间，后者可视为四元数的另一种实形式。表示论还暗示了针对二阶极点的四元数版 Cauchy 公式。值得注意的是，复数情形中出现的导数在四元数对应物中被麦克斯韦方程组（Maxwell equations）所取代。我们还揭示了四元数分析与量子力学及量子场论中各种结构之间的联系，例如氢原子能谱、真空极化以及单圈费曼积分（one-loop Feynman integrals）。我们也提出了一些进一步的猜想。本文及我们后续论文的主要目标是复兴四元数分析，并展示四元数分析、表示论与四维物理学之间的深刻联系。